Một toán tử là phép toán tác động lên một hàm số bất kì và cho ra một hàm số mới. Ví dụ:

A f(x,y,z) = g(x,y,z)

thể hiện toán tử A tác dụng lên f(x,y,z) tạo ra hàm g(x,y,z). Một số loại toán tử thường gặp như toán tử đạo hàm, A = d / d x {\displaystyle d/dx} , hay toán tử Laplace, A = d 2 / d x 2 + d 2 / d y 2 + d 2 / d z 2 {\displaystyle d^{2}/dx^{2}+d^{2}/dy^{2}+d^{2}/dz^{2}}

Hai toán tử có tính giao hoán khi thứ tự của hai toán tử này tác động lần lượt lên một hàm không ảnh hưởng đến kết quả cho ra. Nói chung hai toán tử bất kỳ thường không giao hoán, vì thứ tự tác động là quan trọng.

Giao hoán tử của hai toán tử A và B, là toán tử được định nghĩa là:

[A,B] = A B - B A

Ở đây xảy ra hai trường hợp:

[A,B] = A B - B A ≠ 0 - hai toán tử A, B không giao hoán với nhau.[A,B] = A B - B A = 0 - hai toán tử A, B giao hoán với nhau.

Đây gọi là hệ thức giao hoán giữa hai toán tử.

Một số hệ quả

[A,B] + [B,A] = 0[A,A] = 0[A,B+C] = [A,B] + [B,C][A+B,C] = [A,C] + [B,C][A,BC] = [A,B]C + B[A,C][AB,C] = [A,C]B + A[B,C][A,[B,C]] + [C,[A,B]] + [B,[C,A]] = 0